Максимальное и минимальное собственные значения матрицы

From

Evgenij Masherov (2:5020/175.2)

To

Nikita Golovachev

Date

2002-10-17T09:58:35Z

Area

RU.ALGORITHMS

From: "Evgenij Masherov" <EMasherow@nsi.ru>

Wed Oct 16 2002 19:35, Nikita Golovachev wrote to Evgenij Masherov:

 
 NG>>> Помогите, пожалуйста, с определением сабжа. Буду очень благодарен.
 EM>> Степенной метод не спасет?
 NG>>> Можно, конечно, найти все собственные значения, но опять же как?
 EM>> Якоби, например.

 NG> А можно по-подробнее про эти методы?

Степенной метод весьма прост
x(n+1)=Ax(n)
Повторяя умножение произвольного начального вектора на матрицу (и не забывая
его нормировать - к единичной сумме квадратов его элементов; к единичной сумме
элементов, если есть основания полагать, что они все положительны; просто к
единичному выбранному элементу), получаем х стремящийся к собственному
вектору, соответствующему максимальному собственному значению. Далее
собственное значение находится просто по определению (ну, или как норму
последнего вектора...)
Для минимального С.З. - берется обратная матрица (что не требует
дополнительной информации, но трудоемко) или матрица (kI-A), где к - больше
максимального собственного значения, т.е. бывшее минимальное становится
максимальным С.З. (не забыть восстановить правильное значение с учетом к !)
Для этих методов есть контрпримеры несходимости, но они проявляются в
специально подобранных начальных векторах, так что ошибки вычисления нас из
такого тупика выведут...
Можно также повторить расчет несколько раз, меняя начальные приближения.
Метод Якоби состоит в том, что приводим матрицу к диагональному виду, сохраняя
С.З. путем умножения на матрицы вращений. Хорош, когда нужно найти все С.З. и
С.В., причем с высокими требованиями по ортогональности С.В. Если нужны одни
С.З. - лучше использовать QR-разложение.
Описание их и многих других есть в кн.: Парлетт. Симметрическая проблема
собственных значений.

 NG>>> Исходники приветствуются.
 EM>> А модератор не заругается?

 NG> Заругается. Но может хотя бы в мыло?.. Ну очень мне надо...
 NG> А вообще-то текст программы - это четко записанный в соответствии с
 NG> некоторыми правилами языка алгоритм :-)

Либо адрес не-ФИДОшный (ну, есть проблемы с отправкой почты...) - либо
дозволение от начальства на помещение сюда исходника Якоби (некоторым
оправданием тому - усовершенствования алгоритма Якоби, принадлежащие мне, и
позволившие по скорости не уступить QR при большей ортогональности...)

Евгений Машеров АКА СанитарЖеня

--- ifmail v.2.15dev5
 * Origin: FidoNet Online - http://www.fido-online.com (2:5020/175.2)