Re: Матрица с диагональным преобладанием

From

Mikhail Kalenkov ()

To

Djune Nickolay

Date

2002-11-07T20:03:30Z

Area

RU.ALGORITHMS

From: "Mikhail Kalenkov" <kalenkov@rinet.ru>

Hello Djune

> Подскажите пожалуйста как доказать что матрица не вырожденная если у нее
> имеется диагоналбное преобладание.

Г. Корн, Т.Корн "Справочник по математике" пункт 14.8-9. Также очень близко
примыкает к твоему вопросу понятие кругов Гершгорина . Доказательство
твоего утверждения мне удалось построить за 5
минут, но я не готов его воспроизвести в понятном и строгом виде без
TeX'овских обозначений. Общая идея следующая
1) Пусть L - собственное значение матрицы A[ij], а x[i] - соответствующий
собственный вектор
2) Запишем уравнение Ax=Lx покомпонентно
3) Вдумчиво разглядывая его, можно найти, что собственное значение лежит в
объединении кругов
|A[ii]-L|<sum|A[ij]| , здесь сумма берётся по всем j неравным i. Разные
круги соответствуют разным i.
4) Несложно убедится, что в случае диагонального преобладания объединение
кругов не содержит точки L=0, а следовательно матрица A  является
невырожденной.

    Михаил Каленков.










--- ifmail v.2.15dev5
 * Origin: Cronyx Plus ISP (2:5020/400)