Re: Многочлены

From

Mikhail Kalenkov ()

To

Valentin Davydov

Date

2002-12-25T09:11:56Z

Area

RU.ALGORITHMS

From: "Mikhail Kalenkov" <kalenkov@rinet.ru>

Hello Valentin Davydov

> >Я не всё понял из твоего объяснения, но как мне показалось ты пытаешься
> >разложить свою функцию в ряд по полиномам Лежандра
> >f(x)=sum a_n P_n(x)
> >Причём при нахождении коэффициентов a_n тебе приходится вычислять
интегралы
> >вида
> >\int f(x)P_n(x)dx
> >по формулам прямоугольников, которая не блещет точностью. Я прав?
>
> Совершенно верно.
>
> >Если да,
> >то у меня есть, как мне кажется, хорошая идея. Есть у меня книжка, где
> >описаны ортогональные многочлены дискретного переменного. Это такие
> >полиномы, для которых соотношение ортонормированности на отрезке [0,N-1]
> >записывается в виде
> >
> >\sum_{i=0}^{N-1} p(i) t_n(i) t_m(i) =\delta_{n,m} (дельта символ
Кронекера)
> >p(i) -- весовая функция. В случае p(i)=1 эти многочлены называются
> >многочленами Чебышева, хотя и являются аналогами многочленов Лежандра
> >непрерывного переменного.
>
> Похоже, это как раз то, что мне нужно. Если есть готовая теория этих
> многочленов - хорошо.
>
> >Существуют явные и рекуррентные формулы для
> >ортогональных многочленов дискретного переменного.
>
> Покажи, пожалуйста. Или ссылку в Интернете.
Ссылку в интернете не получается найти. Приведу несколько формул.
Многочлены Чебышева t_n(x) дискретного переменного заданы на интервале
[0,N-1] и удовлетворяют следующему соотношению ортогональности
\sum_{x=0}^{N-1} t_n(x)
t_m(x)=N(N^2-1^2)(N^2-2^2)...(N^2-n^2)\delta_{n,m}/(2n+1)
Сумма здесь берётся по целым точкам
Эти полиномы удовлетворяют рекуррентному соотношению
(n+1)t_{n+1}(x)-(2n+1)(2x-N+1)t_n(x)+n(N^2-n^2)t_{n-1}=0, n=1,2,...
Явное выражение для полиномов Чебышева можно получить из выражения через
разностный оператор
t_n(x)=n!\Delta^n ( H(x,n) H(x-N,n) ), n=0,1,....N-1
Здесь я ввёл для удобства записи функцию H. Её значение находится из
определения
H(x,n)=(x-n+1)_n/n!
Здесь символ (x-n+1)_n означает следующее
(x-n+1)_n=\Gamma(x+n)/\Gamma(n)=n(n+1)...(x+n-1)
Ух... Вроде всё выписал. Надеюсь, что ошибок не было. Нет не всё. Забыл
определение разностного оператора. Он действует следующим образом
\Delta f(x) = f(x+1)-f(x)
> >PS А почему бы тебе не использовать метод наименьших квадратов?
Обращение
> >матрицы с размерностью 15-20 не столь уж и ресурсоёмко.
>
> По степеням икса? Плохо определённые матрицы для больших степеней
получаются,
Почему икса? Зачем икса? А как же ортогональные полиномы Чебышева. Их для
этого и придумали, чтобы работать там, где простая степенная функция не
справляется со своими обязанностями.
> >я бы использовал многочлены Чебышева (легче смотреть за погрешностью
> >приближения, да и вычислять их проще).
>
> Так и с Лежандрами (недискретными) то же самое.
Ты меня вероятно не понял. Многочлены Чебышева большого порядка не нужно
вычислять ни через рекуррентные соотношения, ни через явные выражения в
виде полинома, а нужно пользоваться формулой
T_n(x)=cos(n*arccos(x))


    Михаил Каленков.

PS Если решишь играться с ортогональными полиномами, то сначала проверь их
ортогональность, а то вдруг я где-то ошибся при наборе формул.


--- ifmail v.2.15dev5
 * Origin: Cronyx Plus ISP (2:5020/400)