Многочлены

From

Evgenij Masherov (2:5020/175.2)

To

Valentin Davydov

Date

2002-12-25T10:00:07Z

Area

RU.ALGORITHMS

From: "Evgenij Masherov" <EMasherow@nsi.ru>

Tue Dec 24 2002 18:25, Valentin Davydov wrote to All:

 VD> Задана табличная функция, довольно гладкая, в равноотстоящих узлах
 VD> (узлов порядка тысячи). Хочется аппроксимировать её многочленом
 VD> достаточно высокой степени, скажем, 15-20. Я пока сделал вот как:
 VD> построил многочлены Лежандра прямо по формулам P(0,x)=1, P(1,x)=x,
 VD> P(n+1,x)=((2*n+1)*x*P(n,x)-n*P(n-1,x))/(n+1), вычислил их значения
 VD> в каждом узле (приведя последние к промежутку [-1,1], разумеется), 
 VD> затем методом прямоугольников проектирую заданные точки на эти 
 VD> многочлены и получаю таким образом коэффициенты. 

 VD> Для повышения точности я, перед тем, как работать с очередным
 VD> многочленом,  вычитаю из исходных данных все предыдущие с
 VD> соответствующими (найденными
 VD> на предыдущих шагах) коэффициентами. Однако после нескольких итераций
 VD> такие вычтенные данные явно содержат остатки низших степеней, причём в
 VD> довольно  странном количестве (порядка процента - для ошибок округления
 VD> явно много,
 VD> а для пропущенной в формуле двойки явно мало). Проверил ортогональность
 VD> используемых многочленов (тем же способом прямоугольников) и увидел тот
 VD> же самый процент в двух местах: во-первых, в отличие нормы многочлена от
 VD> единицы, а во-вторых, в нормах произведений разных многочленов одной 
 VD> чётности.

 VD> Насколько я понимаю, причина - в используемом мною способе
 VD> интегрирования.
 VD> Вопрос, собственно, следующий: есть ли более простой способ "исправить"
 VD> многочлены (или алгоритм интегрирования), чем тупая процедура 
 VD> ортонормирования?

Полагаю, причина - в используемых многочленах. Они ортогональны, если
ортогональность определять через интегрирование, а при суммировании они
ортогональны лишь приблизительно (как сумма - апроксимация интеграла). Нужно
использовать многочлены, ортогональные для дискретного аргумента (Они есть в
Абрамовице и Стигане, а также в более специальных пособиях - но навскидку не
напишу...)

Кроме того, не проще ли решать данную задачу более традиционно, через конечные
разности? 

Евгений Машеров АКА СанитарЖеня

--- ifmail v.2.15dev5
 * Origin: FidoNet Online - http://www.fido-online.com (2:5020/175.2)