метод Ньютона

From

Arthur Martirosyan (2:5061/103.51)

To

Mike Vorozhbensky

Date

2002-05-01T15:45:16Z

Area

RU.ALGORITHMS

Hello, Mike !

 Пятница Май 03 2002 00:21 You wrote:

 MV> Кто нибудь может рассказать про решение систем линейных уравнений
 MV> методом Ньютона(метод касательных) ?

                     Приближенное решение уравнений
                    --------------------------------

      Рассмотрим уравнение
                             f(x)=0 ; (1)
      Где функция f(x) определена и непрерывна на промежутке <a,b>.
      Значение E  <a,b>,удовлетворяющее уравнению (1),т.е. такое, что
      f(E)=0 , называется корнем этого уравнения ( или нулем функции f(x)).

      Геометрически корни уравнения (1)
      представляют собой абсциссы точек
      пересечения графика функции y=f(x)
      с осью Ox (рис.1).
      Для геометрического решения урав-
      нения (1) иногда удобно заменить
      его равносильным уравнением:

             u(x)=v(x).    (2)

      Тогда корни уравнения (1) находятся как АБСЦИССЫ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
      кривых y=u(x) и y=v(x).

      Геометрически наглядной представляется теорема:
      Если непрерывная функция f(x) на
      концах отрезка [a*,b*] содержа-
      щегося в промежутке <a,b>
      принимает значения разных знаков,
      т.е. f(a*)f(b*)<0 то внутри
      отрезка [a*,b*] имеется по меньшей
      мере один нуль функции f(x) (т.е.
      обязательно существует корень
      уравнения f(x)=0 ).

      Этот корень будет единственным, если f'(x) сохраняет постоянный знак
      на (a*,b*) (ввиду монотонности функции  f(x)).

      Предпологая, что уравнение f(x)=0, где f(x) непрерывна на <a,b>,
      имеет единственный корень Е внутри отрезка [a*,b*] содержащегося
      в промежутке <a,b>, причем выполнено условие f(a*)f(b*)<0 ,
      Рассмотрим один из простых приемов для приближенного нахождения этого
      корня.

                   Метод касательных (формула Ньютона)
                  -------------------------------------

      Заменим теперь дугу AB кривой y=f(x) касатальной AC, проведенной в
      точке A(a,f(a)) (рис.3). Т.к. угловой коэффициент касательной AC
      равен f'(a), то ее уравнение имеет вид:

                       y-f(a)=f'(a)(x-a)      (6)

      Отсюда, полагая y=0 находим для корня Е его нриближенное значение

                f(a)
         E1=a- -------      (8)
               f'(a)

              (Формула Ньютона).

      При выборе точки через которую
      проводить касательную следует
      придерживаться правила:

            Если вторая производная функции f''(x) сохраняет постоянный
            знак в интервале (a,b), то касательную следует проводить в
            той кольцевой точке дуги AB, для которой знак функции
            совпадает со знаком ее второй производной.

могу маленькую прогу закинуть, если нужно..


... OK!____________________________________________________________________
--- Желаю удачи и всего хорошего, Arthur M. -------------------------------
 * Origin: Избави бог и нас от этаких судей. (2:5061/103.51